在分析连续周期信号和非周期信号时，将连续信号分别表示为虚指数$e^{jn\omega_0t}$和$e^{j\omega t}$,从而实现连续信号的Fourier变换和信号频域分析。类似的是，可以将离散序列表示为$e^{jm\Omega_0t}$和$e^{j\Omega t}$,从而引入离散周期序列的Foourier级数（DFS)和离散非周期序列的Fourier变换(DTFT)
1. 离散傅里级数(DFS)
周期为N的离散序列 $\tilde x[k]$可以由N项虚指数序列$ \{ e^{jm\Omega0k};m = 0,1,2,3,\cdots\}$的线性加权之和
$$ \tilde x[k] = \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde X[m]e^{j\frac{2\pi}{N}mk} = \frac{1}{N} \sum_{m= < N >} W_N^{mk}$$
由虚指数序列的正交特性，可以得 到系数$\tilde X[m]$为
$$ \tilde X[m] = \sum_{k = 0}^{N-1}\tilde x[k]e^{-j\frac{2\pi}{N}mk}=\sum_{k = < N >}\tilde x[k]W_N^{-mk} $$
2.关于 DFS 的一些性质
基本和连续信号的一致
1. 线行特性，满足叠加定理
2. 位移特性
时域位移特性:$\tilde x[k+n] \stackrel{\text{DFS}}\to W_N^{-mn}\tilde 2X[m]$
频域位移特性：$ W_N^{ml}\tilde x[k] \stackrel{\text{DFS}}\to \tilde X[m+l] $
3. 对称特性
关于对称特性需要注意的是实周期序列$\tilde x[k]$的频谱$\tilde X[m]$的实部为m的偶函数，虚部为m的奇函数，也就是幅度谱m的偶函数，相位谱为m奇函数
4. 周期卷积特性
离散时间Fourier变换
周期序列通过离散Fourier级数实现信号从时域到频域的映射，而非周期序列正是通过离散时间Fourier变换实现信号从时域到频域的映射。
其正反变换公式为：
$$\begin{align} X(e^{j\Omega}) &= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]e^{-j\Omega k}\\
x[k] &=\frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>}X(e^{j\Omega})e^{j\Omega}d\Omega \end{align}$$